productos notables

Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede obtener sin realizar la multiplicación.
Aprenda de memoria estos productos notables; porque, son muy útiles para resolver problemas más complejos.
1) Cuadrado de la suma de un binomio
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
Observe:
El binomio es x + y.
El resultado consta de tres términos:El primero es el cuadrado de x (primera cantidad) y el último es el cuadrado de y (segunda cantidad).El término del centro es el doble de x por y.Todos los signos son + (positivos).
Caso práctico: Suponga que el profesor le dice: Realice cálculos mentales y dígame ¿cuánto es 24 al cuadrado?Solución: Descomponga 24 en dos cantidades y elévelo al cuadrado: (20 + 4)2.Aplique el producto notable que hemos estudiado, es decir: el cuadrado del primer término 202 = 400 + el doble del primero por el segundo 2 x 20 x 4 = 160 + el cuadrado del segundo término 42 = 16; el resultado sería: 400 + 160 + 16 = 576.
Practique, practique, practique con otros números pequeños para dominar este producto notable.
2) Cuadrado de la diferencia de un binomio
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2
Observe:
El resultado es semejante al del producto notable 1); la diferencia está en los signos: el primero es +, el segundo es - y el tercero es+.
Caso práctico: ¿Cuánto es 99 al cuadrado?Solución: Descomponga 99 en dos cantidades y elévelo al cuadrado: (100 - 1)2.Aplique el producto notable que hemos estudiado, es decir: el cuadrado del primer término 1002 = 10000 - el doble del primero por el segundo 2 x 100 x 1 = 200 + el cuadrado del segundo término 12 = 1; el resultado sería: 10000 - 200 + 1 = 9801.
Practique, practique, practique con otros números pequeños para dominar este producto notable.
3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
(x+y)(x-y)= x2 - y2
Observe:
El resultado es el cuadrado x (minuendo en la resta) menos el cuadrado de y (sustraendo en la resta).
Practique, practique, practique
4) Cubo de la suma de un binomio
(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Observe:
El resultado consta de cuatro términos:El primero es el cubo de x y el último es el cubo de y.El segundo término del resultado es el triple de x elevado al cuadrado por y.El tercero es el triple de x por y elevado al cuadrado.Todos los signos son + (positivos).
Practique, practique, practique
5) Cubo de la diferencia de un binomio
(x-y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Observe:
El resultado es parecido al producto notable 4); la diferencia está en los signos el primero es +, el segundo -, el tercero + y el último -.
Practique, practique, practique
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definicion de producto notable

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Binomio Suma al Cubo
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Diferencia al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
Suma de dos Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
Producto de dos binomios que tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

EJERCICIOS resueltos

01
(x + 5)2
=
x2 + 10x + 25
02
(7a + b)2
=
49a2 + 14ab + b2
03
(4ab2 + 6xy3)2
=
16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6
04
(xa+1 + yb-2)2
=
x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4
05
(8 - a)2
=
64 - 16a + a2
06
(3x4 -5y2)2
=
9x8 - 30x4y2 + 25y4
07
(xa+1 - 4xa-2)2
=
x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
08
(5a + 10b)(5a - 10b)
=
25a2 - 100b2
09
(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)
=
49x4 - 144y6
10
(x + 4)3
=
x3 + 12x2 + 48x + 64
11
(5x + 2y)3
=
125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3
12
(2x2y + 4m)3
=
18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3
13
(1 - 4y)3
=
1 - 12y + 48y2 -64y3
14
(3a3 - 7xy4)3
=
27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12
15
(2xa+4 - 8ya-1)3
=
8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3
16
(x + 5)(x + 3)
=
x2 + 8x + 15
17
(a + 9)(a - 6)
=
a2 + 3a - 54
18
(y - 12)(y - 7)
=
y2 - 19y + 84
19
(4x3 + 15)(4x3 + 5)
=
16x6 + 80x3 + 75
20
(5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)
=
25y2a+2 - 50ya+1 - 56

angelita

productos notables

Productos notables
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Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.
Los productos notables están relacionados con las fórmulas de factorización estudiadas en los primeros cursos de álgebra, ya que cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, el producto de binomios conjugados corresponde a la regla de factorización de diferencia de cuadrados.